Casino : roulette et mathématiques

Roulette de casino

Roulette de casino (image issue de Wikipedia Commons)

Si vous avez déjà mis les pieds dans un casino, vous avez certainement déjà entendu parler de cette fameuse technique qui consiste à doubler sa mise à chaque fois qu’on perd à la roulette française. Vous savez, on a toujours un copain qui vous explique « mais si, avec ça tu ne peux pas perdre » ou « j’ai trop une technique qui permet de gagner à tous les coups au casino ». Nous allons voir, en utilisant des notions de mathématiques simples, que cette technique est quasi-suicidaire…

Présentation de la technique

Si vous ne connaissez pas cette technique, je vais en faire une rapide présentation : cette technique consiste à miser sur une des deux couleurs (rouge ou noir). Il faut savoir que lorsqu’un joueur gagne en ayant misé sur une couleur, il remporte deux fois sa mise et qu’il y a 37 numéros : 18 rouges, 18 noirs et le zéro. Si le joueur gagne, tant mieux, et s’il perd, au tour suivant il mise le double de ce qu’il avait misé auparavant. Par exemple, si le joueur a misé 1 euro sur les noirs, et que le rouge tombe, au tour suivant, il misera 2 euros toujours sur les noirs, s’il perd alors ce sera 2 euros sur les noirs… et ainsi de suite.

A priori, cette technique présente un avantage indéniable : vous finirez théoriquement toujours par récupérer ce que vous avez perdu aux tours précédents, et vous y gagnerez une certaine somme. Dans la situation précédente, si le joueur gagne après avoir misé 4 euros, il aura perdu 1+2+4=7 euros et récupéré 8 euros, il aura donc au final gagné 1 euro.

Pourquoi ça risque d’être difficile de ruiner le casino…

Mais cette technique présente plusieurs inconvénients majeurs :
– Le zéro n’est ni rouge ni noir : par conséquent l’espérance mathématique (en gros le gain moyen) sur un tirage est négative (en supposant les évènements indépendants : le tirage en cours ne dépend pas des précédents)
Soit n le nombre d’euros misés. En misant, le joueur perd donc n euros mais pourra en récupérer 2n s’il gagne (au mieux il en gagne donc n)
E= -n + 2*n*(18/37) + (18/37) * 0 – 1/37 = -(n+1)/37 < 0
L’espérance mathématique est une fonction affine décroissante de n. En gros, plus le joueur mise et plus il a de chances de perdre…

Ce petit calcul d’espérance mathématique a néanmoins nécessité de faire une approximation importante : on a supposé les événements indépendants, c’est-à-dire qu’on a supposé que les résultats du tirage n’étaient pas influencés par d’autres événements (les résultats du tirage précédent, par exemple).

De plus, si le joueur double la mise à chaque fois qu’il perd, il doit théoriquement y avoir un moment où il finira par gagner.
Mais cela soulève un autre inconvénient majeur : imaginez que le joueur mise sur les noirs et que les rouges tombent 15 fois consécutives (ce qui peut tout à fait arriver réellement !) … pour récupérer la somme mirobolante qu’il aura déjà perdu, le joueur devra donc miser 216-1 euros au prochain tirage, soit 32768 euros… pas mal pour une mise de départ d’un euro… pour gagner à coup sur avec cette technique, il faudrait avoir un compte en banque illimité !

Mais depuis le début de la page, je ne parle que du cas où le joueur perd. Et quand il gagne, au fond, il doit gagner énormément non ? Un joueur qui mise un euro, perd, en mise deux, perd, en mise quatre et gagne aura au final gagné un euro. Alors s’il gagne après avoir perdu 15 fois et qu’il récupère 65536 euros, il doit certainement avoir fait un énorme bénéfice… Pas du tout!!! Au mieux, le joueur peut gagner sa mise de départ (ici un euro) même après avoir perdu 15 fois et mis 32768 euros au 16ème tour…

Tout ceci s’explique par un petit calcul. Supposons que le joueur mette une mise de départ de p euros, qu’il gagne au n-ième tour après avoir perdu n-1 fois (n>1). Alors le joueur aura au total perdu (au cours des n-1 premiers tours) p+2p+4p+….. +2n-1p = p (1+2+….. + 2n-2) = p (2n-1 – 1) euros. Au tour suivant, le n-ième tour, le joueur mise 2n-1*p euros et gagne. Il récupère donc 2n*p euros, auxquels il faut retirer les 2n-1*p euros qu’il a misés pour gagner ce tour (si vous misez 4 euros et que vous en gagnez 8, vous gagnez donc 8-4 euros et non pas 8 euros !!) ainsi que les p (2n-1 – 1) euros qu’il a dépensés aux tours précédents.

Il reste donc 2n*p -2n-1*p – p (2n-1 – 1) = p euros, après n’importe quel nombre de tours perdus et un gagné ! Et s’il avait misé un euro en mise de départ, il aurait eu beau récupérer 65536 euros après avoir perdu 15 fois, au final, son bénéfice sera d’un euro. Il aura risqué beaucoup (imaginez qu’il n’ait plus assez d’argent pour suivre, il perdra énormément !) pour au final gagner bien peu. Gagner un euro par un euro, vous avouerez qu’il n’y a pas de quoi ruiner le casino…

Mais alors pourquoi ne pas augmenter la mise de départ ??? Surtout pas, malheureux !!! Cela augmentera l’argent qu’il devra mettre pour compenser les tours perdus. Si le joueur perd 15 fois en ayant mis 10 euros comme mise de départ, il devra mettre 327680 euros au 16ème tour au lieu de 32768 s’il avait mis un euro en mise de départ !!!

Au final, il est tout à fait possible d’utiliser cette technique pour s’amuser (il faudra qu’on m’explique ce qu’il y a de drôle là-dedans…) mais certainement pas pour gagner au casino (à moins d’avoir un compte en banque quasi-illimité). Cette technique fait prendre de gros risques et miser beaucoup pour au final gagner bien peu… S’il existait une méthode miraculeuse pour gagner à coup sûr au casino, ça se saurait depuis longtemps !